Let’s算数 ―整数分野の問題―

2025.01.24 中学受験

こんにちは！志學舎立川教室の安村です。今回は整数分野のわり切れる回数の解き方を紹介します。

問題～わり切れる回数～

24を素因数分解すると
　24＝２×２×２×３
となり、２が３個あるので、24は２で３回わり切れます。この考え方を利用して、次の問題を解いてみましょう。

★「わり切れる」とは、ここでは、商が整数であまりが０になることをさすものとするよ。

次のように１から順に整数を30までかけた積をＡとします。
　Ａ＝１×２×３×４×・・・・・・× 29 × 30

(1)Ａを２でわり続けるとき、何回目ではじめて商が整数でなくなりますか。
(2)Ａは一の位から０が何個連続してならびますか。

解き方
(1) Ａを素因数分解したとき、２が全部で何個あるかを調べればよいことになります。
そこで、下の図のように、30までの整数について、素因数分解したときの２の個数だけ○をつけてみましょう。

★たとえば、４は２×２だから◯が２個、10は２×５だから○が１個、24は２×２×２×３だから○が３個、……となるよ。

各段の○の個数を計算で求めると次のようになります。

１段目の○：２の倍数につく　→30÷２＝15 　　→15個
２段目の○：２×２(＝４)の倍数につく　→30÷４＝７あまり２　　→７個
３段目の○：２×２×２(＝８)の倍数につく　→30÷８＝３あまり６　　→３個
４段目の○：２×２×２×２(＝16)の倍数につく　→30÷16＝１あまり14 　　→１個
５段目の○：２×２×２×２×２(＝32)の倍数につく　→なし

★○の個数を求めるときは、「たて」にではなく横に(段ごとに)見るのがポイント!

したがって、２の個数は全部で、
　15＋７＋３＋１＝26(個)
ですから、２で26回わり切れ、(26＋１＝)27回目ではじめて商が整数でなくなります。

★最後の「＋１」をわすれずに!

(2) Ａが10で何回わり切れるかを求めればよいことになります。
　10＝２×５
より、Ａを素因数分解したとき、[２，５]が１組あるごとに10で１回わり切れます。

(1)と同じように、30までの整数について、素因数分解したときの５の個数だけ○をつけていくと、下のようになり、

１段目の○：５の倍数につく　→30÷５＝６　→６個
２段目の○：５×５(＝25)の倍数につく　→30÷25＝１あまり５　→１個
３段目の○：５×５×５(＝125)の倍数につく　→なし